معادلات الأسي واللوغاريتم: e^x = k و ln(x) = k في 30 ثانية

المعادلة الأسية: $e^x = k$

• إذا $k > 0$: حلّ وحيد $x = \ln(k)$.
• إذا $k \leq 0$: لا حلّ (لأنّ $e^x > 0$ دائمًا).

مثال: $e^x = 5$ ⇒ $x = \ln(5) \approx 1{,}609$.

المعادلة اللوغاريتمية: $\ln(x) = k$

شرط الوجود: $x > 0$.

دائمًا حلّ وحيد: $x = e^k$.

مثال: $\ln(x) = 2$ ⇒ $x = e^2 \approx 7{,}389$.

حالات أكثر تعقيدًا

$e^{ax + b} = k$ مع $k > 0$: $a x + b = \ln(k) \Rightarrow x = \dfrac{\ln(k) - b}{a}$

$\ln(a x + b) = k$ مع $a x + b > 0$: $a x + b = e^k \Rightarrow x = \dfrac{e^k - b}{a}$

⚠️ ثم يجب التحقّق من الشرط $a x + b > 0$.

المتراجحات

$e^x > k$ (exp متزايدة قطعًا):

• إذا $k \leq 0$: $S = \mathbb{R}$.
• إذا $k > 0$: $x > \ln(k)$.

$\ln(x) > k$ (ln متزايدة قطعًا):

• دائمًا $x > e^k$ (و $x > 0$ تلقائيًا).

حلّ $e^{f(x)} = e^{g(x)}$

لأنّ $\exp$ متباينة: $f(x) = g(x)$.

كذلك لـ $\ln$: $\ln(f(x)) = \ln(g(x)) \iff f(x) = g(x)$ مع $f(x), g(x) > 0$.

أخطاء شائعة

1. حلّ $e^x = -3$ دون قول «لا حلّ».
2. نسيان الشرط $x > 0$ لـ $\ln$.
3. كتابة $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a + b)$ (خطأ، الصحيح $\ln(ab)$).
4. كتابة $e^{a+b} = e^a + e^b$ (خطأ، الصحيح $e^a \cdot e^b$).

?À toi de jouer

حلّ e^(2x − 1) = 5؟

A.(ln(5) + 1) / 2B.ln(5) − 1C.(5 + 1) / 2D.e^5 / 2

Valider