Approximation affine locale : f(a+h) ≈ f(a) + h·f'(a)

La formule clé

Si $f$ est dérivable en $a$, alors pour $h$ petit :

$f(a + h) \approx f(a) + h \cdot f'(a)$

C’est l’équation de la tangente à la courbe en $a$, utilisée localement pour approcher $f$.

Interprétation géométrique

Près du point $A(a, f(a))$, la courbe et la tangente sont presque confondues. La tangente donne donc une bonne estimation de $f(a + h)$.

Plus $h$ est petit, meilleure est l’approximation.

Exemples de calcul rapide

$\sqrt{4{,}01}$ ? On prend $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 4$, $h = 0{,}01$.

$f(4) = 2$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(4) = 1/4$.

$\sqrt{4{,}01} \approx 2 + 0{,}01 \times 1/4 = 2 + 0{,}0025 = 2{,}0025$.

Vraie valeur : $2{,}002498\ldots$ ✓

$(1{,}02)^{10}$ ? $f(x) = x^{10}$, $a = 1$, $h = 0{,}02$.

$f(1) = 1$, $f'(1) = 10$, donc $(1{,}02)^{10} \approx 1 + 0{,}2 = 1{,}2$ (vraie valeur $\approx 1{,}219$).

Formule équivalente avec $x$ près de $a$

$f(x) \approx f(a) + (x - a) \cdot f'(a)$

Développements limités (prépa)

L’approximation affine est un développement limité à l’ordre 1. On peut aller plus loin :

$f(a + h) \approx f(a) + h f'(a) + \dfrac{h^2}{2} f''(a) + o(h^2)$

Notation différentielle

$df \approx f'(a) \, dh$

Interprétation physique : petit changement de $f$ ≈ dérivée × petit changement de variable.

Erreurs classiques

1. Utiliser la formule avec $h$ trop grand (mauvaise approximation).
2. Oublier le facteur $f'(a)$ (juste $f(a) + h$ est faux).
3. Confondre $h$ et $x$ dans la formule.

?À toi de jouer

ln(1,01) ≈ ? (f(x) = ln(x), a = 1)

A.0,01B.0,1C.1,01D.0

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