معادلة تفاضلية خطّية y' = ay + b: الحل بصيغة واحدة

المبرهنة

للمعادلة التفاضلية $y' = ay + b$ ($a \neq 0$، ثوابت)، الحلول هي:

$y(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a}$

حيث $C \in \mathbb{R}$ ثابت.

تقسيم إلى قطعتين

الحل العام = حل المتجانسة + حل خاص ثابت.

• المتجانسة $y' = ay$ ⇒ $y_h = Ce^{ax}$
• الخاص (ثابت $y_p$): نحلّ $0 = a y_p + b$، أي $y_p = -b/a$
• الإجمالي: $y = Ce^{ax} - b/a$

حالة خاصّة: $b = 0$

إذا كان $b = 0$، تصبح المعادلة $y' = ay$ و $y = Ce^{ax}$. نمو أو اضمحلال أسّي.

إيجاد $C$ بشرط ابتدائي

شرط مثل «$y(0) = y_0$» يحدّد $C$.

مثال: حُلّ $y' = 3y - 6$ مع $y(0) = 4$.

• الحل العام: $y(x) = C e^{3x} + 2$.
• الشرط: $4 = C + 2$، إذن $C = 2$.
• الحل الوحيد: $y(x) = 2 e^{3x} + 2$.

التحقّق

دائمًا تحقّق بالتعويض: $y' = 6 e^{3x}$، و $3y - 6 = 6e^{3x} + 6 - 6 = 6e^{3x}$. ✓

تطبيقات ملموسة

• شحن مكثّف: $u' = -u/(RC) + E/(RC)$
• تبريد نيوتن: $T' = -k(T - T_\text{env})$
• نمو مالتوس ($b = 0$): $N' = kN$

أخطاء شائعة

1. الخلط بين $y' = ay + b$ و $y' = ay - b$.
2. نسيان الحل الخاص: $Ce^{ax}$ وحده حل فقط إذا $b = 0$.
3. خطأ في إشارة $-b/a$.

?À toi de jouer

حُلّ y' = 2y − 10 مع y(0) = 3.

A.y(x) = −2e^{2x} + 5B.y(x) = 3e^{2x} − 10C.y(x) = e^{2x} + 5D.y(x) = 3e^{2x} + 5

Valider