Équation différentielle y' = ay + b : la solution en une formule

Le théorème

Pour l’équation différentielle $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$, $a$ et $b$ constants), les solutions sont :

$y(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a}$

où $C \in \mathbb{R}$ est une constante à déterminer.

Décomposition en 2 morceaux

Solution générale = solution de l’équation homogène + solution particulière constante.

• Homogène $y' = ay$ ⇒ $y_h = Ce^{ax}$
• Particulière (constante $y_p$) : on résout $0 = a \cdot y_p + b$, soit $y_p = -b/a$
• Total : $y = y_h + y_p = Ce^{ax} - b/a$

Cas particulier : $b = 0$

Si $b = 0$, l’équation devient $y' = ay$ et $y = Ce^{ax}$. C’est la croissance ou décroissance exponentielle.

Trouver $C$ avec une condition initiale

Une condition du type « $y(0) = y_0$ » ou « $y(x_0) = y_0$ » détermine $C$.

Exemple : résoudre $y' = 3y - 6$ avec $y(0) = 4$.

• Solution générale : $y(x) = C e^{3x} - (-6)/3 = C e^{3x} + 2$.
• Condition : $4 = C \cdot e^0 + 2 = C + 2$, donc $C = 2$.
• Solution unique : $y(x) = 2 e^{3x} + 2$.

Vérification

Toujours vérifier en substituant : $y' = 6 e^{3x}$, et $3y - 6 = 3(2e^{3x} + 2) - 6 = 6e^{3x} + 6 - 6 = 6e^{3x}$. ✓

Applications concrètes

• Charge d’un condensateur : $u' = -u/(RC) + E/(RC)$
• Refroidissement de Newton : $T' = -k(T - T_{\text{env}})$
• Modèle démographique de Malthus (b = 0) : $N' = kN$

Erreurs classiques

1. Confondre $y' = ay + b$ et $y' = ay - b$ : le $b$ est le terme constant tel qu’il apparaît dans l’équation.
2. Oublier la solution particulière : $y = Ce^{ax}$ tout seul n’est solution que si $b = 0$.
3. Erreur de signe sur $-b/a$ : bien re-vérifier.

?À toi de jouer

Résous y' = 2y − 10 avec y(0) = 3.

A.y(x) = −2e^{2x} + 5B.y(x) = 3e^{2x} − 10C.y(x) = e^{2x} + 5D.y(x) = 3e^{2x} + 5

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