مجموع متتالية هندسية: الصيغة الفتّاكة

الصيغة

لـ $q \neq 1$:

$1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

إذا $q = 1$: المجموع = $n + 1$ (كل الحدود = 1).

الصيغة القياسية

$1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

عدد الحدود: $n + 1$.

لمتتالية هندسية

$u_n = u_0 \cdot q^n$:

$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

المجموع اللانهائي إذا $|q| < 1$

إذا $|q| < 1$، عندما $n \to +\infty$، $q^{n+1} \to 0$:

$\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \dfrac{1}{1 - q}$

مثال: $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots = 2$.

مثال

احسب $S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32$.

$q = 2$، من $2^0$ إلى $2^5$، إذن $n = 5$.

$S = (1 - 64)/(1 - 2) = 63$. ✓

حيلة: عدد الحدود

مجموع من $q^p$ إلى $q^n$:

• عدد الحدود: $n - p + 1$
• الصيغة: $q^p \cdot \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$

أخطاء شائعة

1. $n$ مقابل $n+1$ في البسط.
2. نسيان الحد $q^0 = 1$.
3. استعمال الصيغة عند $q = 1$: قسمة على 0!

?À toi de jouer

كم يساوي 1 + 3 + 9 + 27 + 81؟

A.121B.81C.243D.120

Valider