البرهان بالترجّع: الطريقة في 3 خطوات

الطقس في 3 خطوات

لإثبات أنّ خاصّة $P(n)$ صحيحة لكل عدد صحيح $n \geq n_0$:

الخطوة 1: التأسيس

تحقّق أنّ $P(n_0)$ صحيحة (غالبًا $n_0 = 0$ أو $1$).

الخطوة 2: التوريث

افترض $P(n)$ صحيحة لعدد مثبَّت $n \geq n_0$ (فرضية الترجّع). أثبت أنّ $P(n + 1)$ صحيحة.

الخطوة 3: الاستنتاج

بالترجّع، $P(n)$ صحيحة لكل $n \geq n_0$.

مثال: $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

سمِّ $P(n)$: $1 + 2 + \ldots + n = n(n+1)/2$.

التأسيس ($n = 1$): $1 = 1 \cdot 2 / 2$. ✓

التوريث: افترض $P(n)$. أثبت $P(n+1)$.

$1 + \ldots + n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓

الاستنتاج: بالترجّع، الصيغة صحيحة لكل $n \geq 1$.

القالب

سمِّ P(n): "..."

التأسيس:
   عند n = n_0، ...
   إذن P(n_0) صحيحة.

التوريث:
   ليكن n ≥ n_0 مثبَّتًا.
   افترض P(n) (HR).
   أثبت P(n+1).
   [استعمل HR]
   إذن P(n+1) صحيحة.

الاستنتاج:
   بالترجّع، P(n) صحيحة لكل n ≥ n_0.

أخطاء شائعة

1. نسيان التأسيس: بدون قاعدة، لا ينطلق الترجّع.
2. استعمال خاصّة أقوى من $P(n)$ في التوريث.
3. عدم توضيح مكان استعمال HR.
4. الخلط بين «لكل» و«لأجل»: في HR، $n$ مثبَّت.

حالات شائعة في الامتحان

• مجاميع الأعداد، المربّعات، القوى
• المتراجحات (مثل $2^n \geq n + 1$)
• صيغ متتاليات معرَّفة بالترجّع
• قابلية القسمة (مثل $4^n - 1$ قابل للقسمة على 3)

?À toi de jouer

في البرهان بالترجّع، خطوة التأسيس تتمثّل في:

A.التحقّق من صحّة الخاصّة عند أصغر قيمةB.افتراض صحّتها عند nC.إثبات P(n+1)D.الاستنتاج

Valider