التوافقات مقياس n: a ≡ b [n] إذا كان لهما نفس الباقي

التعريف

$a$ متوافق مع $b$ مقياس $n$ إذا كان $a - b$ يقبل القسمة على $n$:

$a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)$

يعادل: $a$ و $b$ لهما نفس الباقي في القسمة على $n$.

أمثلة

• $17 \equiv 5 \pmod{12}$ (لأنّ $17 - 5 = 12$).
• $-3 \equiv 4 \pmod{7}$ (لأنّ $-3 - 4 = -7$).
• $25 \equiv 1 \pmod{24}$ (مفيد للساعات!).

العمليات: محفوظة

إذا $a \equiv a' \pmod n$ و $b \equiv b' \pmod n$:

• الجمع: $a + b \equiv a' + b' \pmod n$
• الطرح: $a - b \equiv a' - b' \pmod n$
• الضرب: $a \times b \equiv a' \times b' \pmod n$
• الأُس: $a^k \equiv (a')^k \pmod n$

⚠️ القسمة ليست دائمًا ممكنة!

تطبيق 1: معيار قابلية القسمة

لاختبار قابلية قسمة $n$ على $9$: مجموع الأرقام.

لماذا؟ لأنّ $10 \equiv 1 \pmod 9$، إذًا $10^k \equiv 1 \pmod 9$. عدد متوافق مع مجموع أرقامه مقياس 9.

تطبيق 2: حساب باقٍ ضخم

احسب $2^{100}$ مقياس 5.

$2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 5$.

$100 = 4 \times 25$، إذًا $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod 5$.

الباقي = 1.

تطبيق 3: يوم الأسبوع

اليوم = الأربعاء. بعد 100 يوم؟

$100 = 14 \times 7 + 2$، إذًا $100 \equiv 2 \pmod 7$. الأربعاء + 2 = الجمعة.

مبرهنة فيرما الصغرى

إذا كان $p$ أوّليًا و $a$ لا يقبل القسمة على $p$:

$a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p$

الاستعمال: تبسيط أسس مقياس عدد أوّلي.

أخطاء شائعة

1. القسمة في توافق دون PGCD = 1 مع $n$.
2. كتابة $a \equiv b \pmod n$ عندما $a - b$ لا يقبل القسمة على $n$.
3. نسيان أنّ البواقي موجبة ($0 \leq r < n$).

?À toi de jouer

46 مقياس 7 = ?

A.4B.6C.7D.0

Valider