التحدّب والمشتقة الثانية: f'' > 0 ⇒ f محدّبة

الرابط الأساسي

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق مرّتَين على $I$.

• $f''(x) \geq 0$ على $I$ ⇒ $f$ محدّبة على $I$ (المنحنى فوق مماساته).
• $f''(x) \leq 0$ على $I$ ⇒ $f$ مقعّرة على $I$ (المنحنى تحت مماساته).

تلميح للحفظ: محدّبة = «تجويف نحو الأعلى» (مثل $x^2$)، مقعّرة = «تجويف نحو الأسفل» (مثل $-x^2$).

نقطة انعطاف

نقطة انعطاف هي نقطة يتغيّر فيها تحدّب المنحنى.

توجد حيث تتغيّر إشارة $f''$ (غالبًا في $x_0$ بحيث $f''(x_0) = 0$).

⚠️ $f''(x_0) = 0$ لا يكفي: يجب تغيّر إشارة.

أمثلة كلاسيكية

الدالة	التحدّب
$x^2$	محدّبة في كل مكان ($f'' = 2 > 0$)
$-x^2$	مقعّرة في كل مكان
$e^x$	محدّبة في كل مكان ($f'' = e^x > 0$)
$\ln x$	مقعّرة على $(0, +\infty)$
$x^3$	مقعّرة على $(-\infty, 0]$، محدّبة على $[0, +\infty)$، انعطاف في $0$

توصيف آخر: $f'$ رتيبة

• $f$ محدّبة $\iff$ $f'$ متزايدة.
• $f$ مقعّرة $\iff$ $f'$ متناقصة.

تطبيق: متراجحة التحدّب

إذا كانت $f$ محدّبة على $I$، لكل $a, b \in I$ و $t \in [0, 1]$:

$f\big(t a + (1-t) b\big) \leq t f(a) + (1-t) f(b)$

الوتر فوق المنحنى.

طريقة إيجاد نقطة انعطاف

1. احسب $f''(x)$.
2. حل $f''(x) = 0$.
3. تحقّق من تغيّر إشارة $f''$ في هذه النقطة.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين محدّبة ومتزايدة (لا علاقة مباشرة).
2. كتابة «$f$ تُغيّر التحدّب في $x_0$» دون التحقّق من تغيّر إشارة $f''$.
3. نسيان أنّ $f$ يجب أن تكون قابلة للاشتقاق مرّتَين للحديث عن $f''$.

?À toi de jouer

f(x) = e^x. طبيعة f؟

A.محدّبة على ℝB.مقعّرة على ℝC.محدّبة على [0, ∞) فقطD.نقطة انعطاف في 0

Valider