المعامل الثنائي C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)

الصيغة

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}$

يُقرأ «$k$ من $n$». هو عدد التوفيقات الممكنة لـ $k$ عناصر مختارة من $n$ (بلا ترتيب، بلا تكرار).

حالات خاصة

• $\binom{n}{0} = 1$ (طريقة واحدة لعدم الاختيار)
• $\binom{n}{n} = 1$ (طريقة واحدة لاختيار الكل)
• $\binom{n}{1} = n$
• $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

التماثل

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$

مثال: $\binom{10}{3} = \binom{10}{7}$. اختيار 3 يعادل استبعاد 7.

مثلث باسكال

كل عدد هو مجموع العددَين اللذَين فوقه:

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$

n=0:              1
n=1:            1   1
n=2:          1   2   1
n=3:        1   3   3   1
n=4:      1   4   6   4   1
n=5:    1   5  10  10   5   1

تطبيق: صيغة ذات الحدَّين لنيوتن

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

لـ $n = 2$: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (المعاملات 1، 2، 1).

لـ $n = 3$: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$ (المعاملات 1، 3، 3، 1).

تطبيق: توفيقات في الاحتمالات

عدد يد من 5 بطاقات من 52:

$\binom{52}{5} = \dfrac{52!}{5! \, 47!} = 2\,598\,960$

أخطاء شائعة

1. الخلط بين توفيقة وترتيب (الترتيب = مع ترتيب).
2. نسيان $(n - k)!$ في المقام.
3. حساب مضروبات كبيرة بدل التبسيط (مثلًا $10!/8! = 10 \times 9$).

?À toi de jouer

C(6, 2) = ?

A.15B.12C.30D.36

Valider