متتالية حسابية أم هندسية: الجدول الذي يرتّب كل شيء

الجدول الذي يرتّب كل شيء

	حسابية	هندسية
العلاقة	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \cdot u_n$
الاسم	الأساس $r$	الأساس $q$
التعرّف	$u_{n+1} - u_n =$ ثابت	$u_{n+1} / u_n =$ ثابت
الصيغة	$u_n = u_0 + n r$	$u_n = u_0 \cdot q^n$
مجموع $n+1$ حدًا	$(n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$	$u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (إذا $q \neq 1$)

التعرّف في 3 ثوانٍ

احسب $u_1 - u_0$ و $u_2 - u_1$:

• متساويان ⇒ حسابية، الأساس = هذه القيمة.

احسب $u_1 / u_0$ و $u_2 / u_1$:

• متساويان ⇒ هندسية، الأساس = هذه القيمة.

لا هذا ولا ذاك ⇒ لا حسابية ولا هندسية.

مثال 1: حسابية

$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$

$7 - 3 = 4$، $11 - 7 = 4$ ⇒ حسابية بأساس $4$.

$u_n = 3 + 4n$.

مثال 2: هندسية

$2, 6, 18, 54, \ldots$

$6/2 = 3$، $18/6 = 3$ ⇒ هندسية بأساس $3$.

$u_n = 2 \cdot 3^n$.

اتجاه التغيّر

الحسابية: إشارة $r$ تقرّر.

• $r > 0$ ⇒ متزايدة
• $r < 0$ ⇒ متناقصة

الهندسية ($u_0 > 0$): إشارة $q - 1$ تقرّر.

• $q > 1$ ⇒ متزايدة
• $0 < q < 1$ ⇒ متناقصة
• $q < 0$ ⇒ متتالية تُبدّل الإشارة (متناوبة)

أخطاء شائعة

1. الخلط بين أساس حسابي وهندسي.
2. القسمة على $u_0 = 0$ للتحقق من الهندسية.
3. استعمال صيغة مجموع خاطئة.
4. كتابة $u_n = u_1 + n r$ بدل $u_1 + (n-1) r$ (رتبة الانطلاق).

?À toi de jouer

المتتالية 1، 3، 9، 27، 81، ... هي:

A.هندسية بأساس 3B.حسابية بأساس 2C.هندسية بأساس 2D.لا حسابية ولا هندسية

Valider