متتالية متزايدة + مكبورة ⇒ متقاربة: المبرهنة النجمة

المبرهنة

كل متتالية متزايدة ومكبورة تتقارب (نحو نهاية منتهية).

بالتماثل: كل متتالية متناقصة ومصغورة تتقارب.

⚠️ المبرهنة لا تعطي النهاية، إنّما تضمن وجودها.

تذكير مفردات

• $(u_n)$ متزايدة: $u_{n+1} \geq u_n$ لكل $n$.
• $(u_n)$ مكبورة بـ $M$: $u_n \leq M$ لكل $n$.
• متقاربة: $\lim u_n = \ell$ (منتهية).

الطريقة

لإثبات أنّ $(u_n)$ تتقارب دون معرفة نهايتها:

1. الرتابة: بيّن $u_{n+1} - u_n \geq 0$ (غالبًا بالاستدلال بالتراجع).
2. التكبير: أوجد $M$ بحيث $u_n \leq M$ لكل $n$.
3. استنتج بالمبرهنة.

إيجاد النهاية (بعد إثبات التقارب)

إذا $u_{n+1} = f(u_n)$ و $u_n \to \ell$، فإنّ (إذا $f$ مستمرة) $\ell = f(\ell)$.

نحل $\ell = f(\ell)$ لإيجاد النهاية.

مثال

$u_0 = 1$ و $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

بالاستدلال بالتراجع، نُبيّن:

• $(u_n)$ متزايدة ($u_{n+1} \geq u_n$).
• $(u_n)$ مكبورة بـ $2$.

إذًا $(u_n)$ تتقارب نحو $\ell \leq 2$.

النهاية: $\ell = \sqrt{\ell + 2}$، أي $\ell^2 = \ell + 2$، إذًا $\ell^2 - \ell - 2 = 0$، $\ell = 2$ (الجذر الآخر $-1$ يُستبعد لأنّ $u_n > 0$).

مثال مضاد

$u_n = n$ متزايدة لكن غير مكبورة ⇒ متباعدة نحو $+\infty$.

أخطاء شائعة

1. نسيان التحقّق من التكبير (المتزايدة وحدها لا تكفي).
2. الاعتقاد أنّ النهاية = الحدّ الأعلى (ليس دائمًا).
3. نسيان استمرارية $f$ لتحديد النهاية.

?À toi de jouer

متتالية متزايدة وغير مكبورة:

A.تتباعد نحو +∞B.تتقاربC.قد تتقارب أو تتباعدD.ثابتة نهائيًا

Valider