Suite arithmétique vs géométrique : le tableau qui range tout

Le tableau qui range tout

	Arithmétique	Géométrique
Relation	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_{n+1} = q \cdot u_n$
Nom	Raison $r$	Raison $q$
Reconnaître	$u_{n+1} - u_n =$ constante	$u_{n+1} / u_n =$ constante
Formule	$u_n = u_0 + n r$	$u_n = u_0 \cdot q^n$
Somme $n+1$ termes	$(n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$	$u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$)

Reconnaître en 3 secondes

Calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$ :

• Égales ⇒ arithmétique, raison = cette valeur.

Calcule $u_1 / u_0$ et $u_2 / u_1$ :

• Égales ⇒ géométrique, raison = cette valeur.

Ni l’un ni l’autre ⇒ ni arithmétique ni géométrique.

Exemple 1 : arithmétique

$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$

$7 - 3 = 4$, $11 - 7 = 4$ ⇒ arithmétique de raison $4$.

$u_n = 3 + 4n$.

Exemple 2 : géométrique

$2, 6, 18, 54, \ldots$

$6/2 = 3$, $18/6 = 3$ ⇒ géométrique de raison $3$.

$u_n = 2 \cdot 3^n$.

Sens de variation

Arithmétique : signe de $r$ décide.

• $r > 0$ ⇒ croissante
• $r < 0$ ⇒ décroissante

Géométrique ($u_0 > 0$) : signe de $q - 1$ décide.

• $q > 1$ ⇒ croissante
• $0 < q < 1$ ⇒ décroissante
• $q < 0$ ⇒ suite qui change de signe (alternée)

Erreurs classiques

1. Confondre raison arithmétique et géométrique.
2. Diviser par $u_0 = 0$ pour identifier une géométrique.
3. Utiliser la mauvaise formule de somme.
4. Écrire $u_n = u_1 + n r$ au lieu de $u_1 + (n-1) r$ (indice de départ).

?À toi de jouer

La suite 1, 3, 9, 27, 81, ... est :

A.Géométrique de raison 3B.Arithmétique de raison 2C.Géométrique de raison 2D.Ni arithmétique ni géométrique

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