Coefficient binomial C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)

La formule

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}$

Se lit « $k$ parmi $n$ ». C’est le nombre de combinaisons possibles de $k$ éléments choisis parmi $n$ (sans ordre, sans répétition).

Cas particuliers

• $\binom{n}{0} = 1$ (une seule façon de ne rien choisir)
• $\binom{n}{n} = 1$ (une seule façon de tout choisir)
• $\binom{n}{1} = n$
• $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

Symétrie

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$

Ex : $\binom{10}{3} = \binom{10}{7}$. Choisir 3 est équivalent à en écarter 7.

Le triangle de Pascal

Chaque nombre est la somme des deux au-dessus :

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$

n=0:              1
n=1:            1   1
n=2:          1   2   1
n=3:        1   3   3   1
n=4:      1   4   6   4   1
n=5:    1   5  10  10   5   1

Application : formule du binôme de Newton

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Pour $n = 2$ : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (coefficients 1, 2, 1).

Pour $n = 3$ : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$ (coefficients 1, 3, 3, 1).

Application : combinaisons en probas

Nombre de mains de 5 cartes parmi 52 :

$\binom{52}{5} = \dfrac{52!}{5! \, 47!} = 2\,598\,960$

Erreurs classiques

1. Confondre combinaison et arrangement (arrangement = avec ordre).
2. Oublier le $(n - k)!$ dans le dénominateur.
3. Calculer les grosses factorielles au lieu de simplifier (ex : $10!/8! = 10 \times 9$).

?À toi de jouer

C(6, 2) = ?

A.15B.12C.30D.36

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