قانون الاحتمالات الكلية: تجزئة للحساب

المبدأ

لحساب $P(A)$، نقسّم الفضاء إلى قطع $B_1, B_2, \ldots, B_n$ تكوّن تجزئة:

• متنافية مثنى مثنى: $B_i \cap B_j = \emptyset$
• اجتماعها = $\Omega$: $B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega$

عندئذٍ:

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \ldots + P(A \cap B_n)$

النسخة الشرطية:

$P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + \ldots + P(A | B_n) P(B_n)$

الحالة $n = 2$: تجزئة $B, \overline{B}$

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A|B) P(B) + P(A|\overline{B}) P(\overline{B})$

هي النسخة الأكثر شيوعًا في البكالوريا.

مثال: اختبار تشخيصي

مرض يصيب $2 \%$ من السكان. اختبار:

• إيجابي إذا مريض: $99 \%$
• إيجابي إذا سليم: $5 \%$ (نتائج إيجابية كاذبة)

السؤال: ما احتمال أن يكون اختبار عشوائي إيجابيًا؟

لتكن $M$ = «مريض»، $T$ = «اختبار إيجابي».

$P(M) = 0{,}02$، $P(\overline{M}) = 0{,}98$ $P(T | M) = 0{,}99$، $P(T | \overline{M}) = 0{,}05$

قانون الاحتمالات الكلية:

$P(T) = P(T|M) P(M) + P(T|\overline{M}) P(\overline{M}) = 0{,}99 \times 0{,}02 + 0{,}05 \times 0{,}98$

$P(T) = 0{,}0198 + 0{,}049 = 0{,}0688 \approx 6{,}9 \%$

على شجرة مرجَّحة

كل مسار يساهم بجداء أغصانه. مجموع المسارات المؤدّية إلى $A$ يعطي $P(A)$.

هذه بالضبط صيغة الاحتمالات الكلية مصوَّرة.

أخطاء شائعة

1. الجمع دون تشريط: $P(A) \neq P(A | B) + P(A | \overline{B})$.
2. نسيان الضرب في $P(B_i)$ في النسخة الشرطية.
3. استعمال «تجزئة» ليست كذلك (اجتماع $\neq \Omega$).
4. الخلط بين $P(A \cap B)$ و $P(A | B)$.

?À toi de jouer

P(A|B) = 0,3، P(A|B̄) = 0,6، P(B) = 0,4. P(A) = ?

A.0,48B.0,90C.0,45D.0,18

Valider