Décomposition en facteurs premiers : la méthode de l'arbre

Rappel : nombre premier

Un nombre premier est un entier $\geq 2$ divisible uniquement par 1 et lui-même.

Les premiers premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$

Méthode de l’arbre

Pour décomposer $n$ en facteurs premiers :

1. Trouve un diviseur premier (essaie $2$, puis $3$, puis $5$, $7$, …).
2. Divise, écris le quotient.
3. Recommence sur le quotient.
4. Arrête quand le quotient est premier.

Exemple : décomposer 60

$60 \div 2 = 30$ $30 \div 2 = 15$ $15 \div 3 = 5$ $5$ est premier.

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

Astuces de divisibilité

• Par 2 : le nombre finit par $0, 2, 4, 6, 8$.
• Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3.
• Par 5 : finit par $0$ ou $5$.
• Par 9 : somme des chiffres divisible par 9.
• Par 11 : différence alternée des chiffres divisible par 11.

À quoi ça sert ?

Simplifier une fraction : $\dfrac{60}{84} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.

PGCD : prendre les facteurs communs avec le plus petit exposant. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ ⇒ $\text{PGCD} = 2^2 \times 3 = 12$.

PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant. $\text{PPCM}(60, 84) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.

Unicité

Théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier $> 1$ se décompose de façon unique (à l’ordre près) en produit de facteurs premiers.

Erreurs classiques

1. Oublier des facteurs (bien tester chaque premier).
2. Écrire un facteur non premier ($60 = 6 \times 10$ n’est PAS une décomposition en facteurs premiers).
3. Confondre PGCD et PPCM dans la règle des exposants.

?À toi de jouer

Décomposition en facteurs premiers de 72 ?

A.2³ × 3²B.2² × 3² × 5C.8 × 9D.2⁴ × 3

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