التحليل إلى عوامل أوّلية: طريقة الشجرة

تذكير: العدد الأوّلي

العدد الأوّلي هو عدد صحيح $\geq 2$ يقبل القسمة فقط على 1 وعلى نفسه.

الأعداد الأوّلية الأولى: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ldots$

طريقة الشجرة

لتحليل $n$ إلى عوامل أوّلية:

1. ابحث عن قاسم أوّلي (جرّب $2$، ثم $3$، ثم $5$، $7$، …).
2. اقسم، اكتب الناتج.
3. أعِد على الناتج.
4. توقّف عندما يصير الناتج أوّليًا.

مثال: تحليل 60

$60 \div 2 = 30$ $30 \div 2 = 15$ $15 \div 3 = 5$ $5$ أوّلي.

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

قواعد قابلية القسمة

• على 2: العدد ينتهي بـ $0, 2, 4, 6, 8$.
• على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3.
• على 5: ينتهي بـ $0$ أو $5$.
• على 9: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9.
• على 11: الفرق المتناوب للأرقام يقبل القسمة على 11.

ما فائدته؟

تبسيط كسر: $\dfrac{60}{84} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.

ق.م.أ: خذ العوامل المشتركة بأصغر أُس. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$، $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ ⇒ $\text{ق.م.أ} = 2^2 \times 3 = 12$.

م.م.ب: كل العوامل بأكبر أُس. $\text{م.م.ب}(60, 84) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.

الوحدانية

المبرهنة الأساسية في الحساب: كل عدد صحيح $> 1$ يتحلّل بشكل وحيد (باستثناء الترتيب) إلى جداء عوامل أوّلية.

أخطاء شائعة

1. نسيان عوامل (اختبر كل عدد أوّلي جيّدًا).
2. كتابة عامل غير أوّلي ($60 = 6 \times 10$ ليس تحليلًا إلى عوامل أوّلية).
3. الخلط بين ق.م.أ و م.م.ب في قاعدة الأسس.

?À toi de jouer

تحليل 72 إلى عوامل أوّلية؟

A.2³ × 3²B.2² × 3² × 5C.8 × 9D.2⁴ × 3

Valider