DL en 0 : les 6 développements limités à connaître pour la prépa

Les 6 DL fondamentaux en 0 (ordre 3)

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)$

$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + o(x^2)$

$\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)$

À quoi servent les DL

Ils permettent de remplacer une fonction par un polynôme au voisinage de 0, ce qui rend les limites du type $\dfrac{0}{0}$ triviales.

Un exemple qui fait plaisir

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$

Numérateur : $e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$.

Donc la limite vaut $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2/2}{x^2} = \dfrac{1}{2}$.

Les 3 règles d’or

1. Fais un DL à un ordre suffisant — sinon tu perds l’info clé.
2. Ne jamais additionner les $o(x^n)$ d’ordres différents sans réfléchir.
3. Vérifie que ton DL est bien en 0 (sinon fais un changement de variable).

L’astuce composition

Pour $\ln(1 + \sin x)$, remplace $x$ par $\sin x$ dans $\ln(1+u)$, puis substitue le DL de $\sin$ et regroupe par ordre.

?À toi de jouer

Quel est le DL de sin(x) − x à l'ordre 3 en 0 ?

A.−x²/2 + o(x³)B.−x³/6 + o(x³)C.0 + o(x³)D.x³/6 + o(x³)

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