Diagonaliser une matrice 2×2 en 60 secondes

La méthode en 4 étapes

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Étape 1 — Valeurs propres. Elles sont solutions de $\lambda^2 - t\lambda + \det = 0$ où :

• $t = \text{tr}(A) = a + d$ (trace)
• $\det = ad - bc$ (déterminant)

Étape 2 — Test de diagonalisabilité. Si $\Delta = t^2 - 4\det > 0$ (deux valeurs propres distinctes), alors $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$.

Étape 3 — Vecteurs propres. Pour chaque $\lambda$, résous $(A - \lambda I) v = 0$.

Étape 4 — La forme diagonale. $A = P D P^{-1}$ avec $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ et $P$ formée des vecteurs propres en colonnes.

Un exemple complet : $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

• Trace : $t = 5$. Det : $\det = 6$.
• Polynôme caractéristique : $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ → $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$.
• Vecteur propre pour $\lambda_1 = 2$ : résoudre $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} v = 0$ → $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.
• Vecteur propre pour $\lambda_2 = 3$ : résoudre $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} v = 0$ → $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
• $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Cas $\Delta = 0$ : attention

Une seule valeur propre double. La matrice est diagonalisable ssi l’espace propre associé est de dimension 2. Sinon, elle est seulement trigonalisable.

Cas $\Delta < 0$

Pas de valeurs propres réelles → non diagonalisable dans $\mathbb{R}$, mais l’est dans $\mathbb{C}$.