Théorème des gendarmes : encadrer pour conclure

L’énoncé

Théorème des gendarmes : si pour tout $n$ à partir d’un certain rang :

$v_n \leq u_n \leq w_n$

et si $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors :

$\lim u_n = \ell$

Idée : $u_n$ est « coincée » entre deux suites qui convergent vers la même limite. Elle est donc obligée d’y aller aussi.

Version fonction

Si $v(x) \leq f(x) \leq w(x)$ au voisinage de $a$ (ou $\pm\infty$), et $\lim v = \lim w = \ell$, alors $\lim f = \ell$.

Application : suites avec cosinus/sinus

$u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}$. Quelle limite ?

$-1 \leq \cos(n) \leq 1$, donc :

$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\cos(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$

$-1/n \to 0$ et $1/n \to 0$, donc $u_n \to 0$.

Corollaire : limite $+\infty$

Si $u_n \geq v_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.

De même : si $u_n \leq v_n$ et $v_n \to -\infty$, alors $u_n \to -\infty$.

Exemple : $u_n = n + \sin(n) \geq n - 1$. Et $n - 1 \to +\infty$, donc $u_n \to +\infty$.

Méthode

1. Encadrer $u_n$ par deux expressions plus simples.
2. Calculer les limites des expressions encadrantes.
3. Vérifier qu’elles sont égales (sinon, échec).
4. Conclure par le théorème.

Pièges

⚠️ Si les deux limites ne sont pas égales, on ne peut rien conclure. Il faut trouver un meilleur encadrement.

⚠️ L’encadrement doit être valable pour tout $n$ (à partir d’un rang).

Erreurs classiques

1. Encadrement trop lâche (les limites de $v_n$ et $w_n$ sont différentes).
2. Sens des inégalités inversé.
3. Oublier de démontrer l’encadrement (pas se contenter d’affirmer).

?À toi de jouer

u_n = sin(n)/n². Limite quand n → ∞ ?

A.0B.1C.sin(∞)/∞ (indéterminée)D.n'existe pas

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