Équations trigonométriques : la méthode par le cercle

Le principe

Sur $[0, 2\pi]$, chaque équation a au plus 2 solutions. Sur $\mathbb{R}$, on ajoute $+2k\pi$ (période $2\pi$).

$\cos(x) = a$

Solutions : $x = \pm\alpha + 2k\pi$ où $\alpha = \arccos(a)$.

Exemple : $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ ⇒ $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Sur le cercle : symétrie par rapport à l’axe horizontal.

$\sin(x) = a$

Solutions : $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ où $\alpha = \arcsin(a)$.

Exemple : $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ ⇒ $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Sur le cercle : symétrie par rapport à l’axe vertical.

$\tan(x) = a$

Solutions : $x = \arctan(a) + k\pi$ (période $\pi$, pas $2\pi$).

Exemple : $\tan(x) = 1$ ⇒ $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.

Cas particuliers à connaître

$a$	$\cos(x) = a$	$\sin(x) = a$
$0$	$\pi/2 + k\pi$	$k\pi$
$1/2$	$\pm\pi/3 + 2k\pi$	$\pi/6, 5\pi/6 + 2k\pi$
$\sqrt{2}/2$	$\pm\pi/4 + 2k\pi$	$\pi/4, 3\pi/4 + 2k\pi$
$\sqrt{3}/2$	$\pm\pi/6 + 2k\pi$	$\pi/3, 2\pi/3 + 2k\pi$
$1$	$2k\pi$	$\pi/2 + 2k\pi$

Erreurs classiques

1. Oublier le $2k\pi$ (on doit donner toutes les solutions sur $\mathbb{R}$).
2. Confondre $\cos$ et $\sin$ : $\cos$ ⇒ $\pm\alpha$, $\sin$ ⇒ $\alpha$ et $\pi - \alpha$.
3. Oublier le second cas pour $\sin$.
4. Écrire $+2k\pi$ pour $\tan$ au lieu de $+k\pi$.

?À toi de jouer

Solutions de sin(x) = √3/2 sur [0, 2π] ?

A.π/3 et 2π/3B.π/3 seulementC.π/6 et 5π/6D.±π/3

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