Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : la méthode en 3 étapes

Énoncé du TVI

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

En clair : une fonction continue « prend toutes les valeurs entre » $f(a)$ et $f(b)$.

Cas particulier : $k = 0$

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ (signes opposés), alors $f$ s’annule au moins une fois sur $]a, b[$.

Corollaire (bijection) : unicité

Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a, b]$, et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe un UNIQUE $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Méthode en 3 étapes

Pour montrer que $f(x) = k$ a une unique solution sur $[a, b]$ :

1. Continuité : citer que $f$ est continue (souvent car dérivable).
2. Monotonie stricte : étudier $f'$, dire « $f$ est strictement croissante sur $[a, b]$ ».
3. Encadrement : vérifier $f(a) < k < f(b)$ (ou l’inverse). Conclure par le corollaire.

Exemple type

Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$.

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ polynôme ⇒ continue sur $[0, 1]$.
2. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ ⇒ $f$ strictement croissante.
3. $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$.

Corollaire du TVI ⇒ unique solution dans $]0, 1[$.

Localiser la solution (dichotomie)

Une fois l’existence prouvée, on peut approcher la solution en découpant l’intervalle en deux et en gardant celui où $f$ change de signe. C’est la méthode de dichotomie.

Erreurs classiques

1. Oublier la continuité (essentielle : sans continuité, TVI ne marche pas).
2. Utiliser le TVI simple pour l’unicité (il ne donne que l’existence).
3. Confondre $f$ monotone et $f'$ monotone.
4. Oublier de vérifier l’encadrement $f(a) < k < f(b)$.

?À toi de jouer

TVI + monotonie stricte donnent :

A.Existence ET unicitéB.Existence seulementC.Unicité seulementD.Rien de sûr

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