المعادلات المثلثية: طريقة الدائرة المثلثية

المبدأ

على $[0, 2\pi]$، لكل معادلة على الأكثر حلّان. على $\mathbb{R}$، نضيف $+2k\pi$ (الدور $2\pi$).

$\cos(x) = a$

الحلول: $x = \pm\alpha + 2k\pi$ حيث $\alpha = \arccos(a)$.

مثال: $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ ⇒ $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

على الدائرة: تناظر حول المحور الأفقي.

$\sin(x) = a$

الحلول: $x = \alpha + 2k\pi$ أو $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ حيث $\alpha = \arcsin(a)$.

مثال: $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ ⇒ $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ أو $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

على الدائرة: تناظر حول المحور العمودي.

$\tan(x) = a$

الحلول: $x = \arctan(a) + k\pi$ (الدور $\pi$، وليس $2\pi$).

مثال: $\tan(x) = 1$ ⇒ $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.

حالات خاصة يجب حفظها

$a$	$\cos(x) = a$	$\sin(x) = a$
$0$	$\pi/2 + k\pi$	$k\pi$
$1/2$	$\pm\pi/3 + 2k\pi$	$\pi/6, 5\pi/6 + 2k\pi$
$\sqrt{2}/2$	$\pm\pi/4 + 2k\pi$	$\pi/4, 3\pi/4 + 2k\pi$
$\sqrt{3}/2$	$\pm\pi/6 + 2k\pi$	$\pi/3, 2\pi/3 + 2k\pi$
$1$	$2k\pi$	$\pi/2 + 2k\pi$

أخطاء شائعة

1. نسيان $2k\pi$ (يجب إعطاء جميع الحلول على $\mathbb{R}$).
2. الخلط بين $\cos$ و $\sin$: $\cos$ ⇒ $\pm\alpha$، $\sin$ ⇒ $\alpha$ و $\pi - \alpha$.
3. نسيان الحل الثاني لـ $\sin$.
4. كتابة $+2k\pi$ لـ $\tan$ بدل $+k\pi$.

?À toi de jouer

حلول sin(x) = √3/2 على [0, 2π]؟

A.π/3 و 2π/3B.π/3 فقطC.π/6 و 5π/6D.±π/3

Valider