Étude complète d'une fonction : la méthode en 6 étapes

Les 6 étapes du rituel

Étape 1 — Domaine de définition

Identifie les valeurs interdites :

• Dénominateur = 0 (pour les fractions)
• Argument négatif ou nul (pour $\sqrt{}$, $\ln$)
• $\tan$ non défini aux $\pi/2 + k\pi$

Étape 2 — Limites aux bornes

À chaque borne du domaine (y compris $\pm\infty$).

Étape 3 — Dérivée

Calcule $f'(x)$ (règle du produit, quotient, composée).

Étape 4 — Signe de la dérivée

Étudie $f'(x)$ :

• $f'(x) > 0$ ⇒ $f$ croissante
• $f'(x) < 0$ ⇒ $f$ décroissante
• $f'(x) = 0$ en un point isolé ⇒ extremum

Étape 5 — Tableau de variations

Résume tout dans un tableau à 3 lignes : $x$, $f'(x)$, $f(x)$, avec les limites aux bornes et les valeurs aux extrema.

Étape 6 — Courbe

Trace la courbe :

• Points remarquables (extrema, intersection avec les axes)
• Asymptotes verticales (aux $x_0$ où $f \to \pm\infty$)
• Asymptotes horizontales (aux $\pm\infty$ où $f \to \ell$)

Exemple express : $f(x) = x^3 - 3x$

Domaine : $\mathbb{R}$.

Limites : $\pm\infty$ selon signe de $x^3$.

Dérivée : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

Signe :

• $f' > 0$ sur $]-\infty, -1[$ et $]1, +\infty[$
• $f' < 0$ sur $]-1, 1[$

Tableau :

• Croissante sur $]-\infty, -1]$
• Décroissante sur $[-1, 1]$
• Croissante sur $[1, +\infty[$
• Max local en $-1$ : $f(-1) = 2$
• Min local en $1$ : $f(1) = -2$

Astuces pour le bac

• Toujours indiquer le domaine en premier.
• Justifier chaque changement de signe de $f'$.
• Nommer les asymptotes : « asymptote verticale d’équation $x = a$ ».
• Vérifier la cohérence : si $f$ croît de $-\infty$ à $+\infty$, elle traverse chaque valeur une seule fois.

Erreurs classiques

1. Oublier le domaine.
2. Confondre max local et max global.
3. Ne pas mettre les $\pm\infty$ aux bons endroits du tableau.

?À toi de jouer

Dans un tableau de variations, si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est :

A.Strictement croissanteB.Strictement décroissanteC.ConstanteD.Impossible à dire

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