Formule des probabilités totales : découper pour compter

Le principe

Pour calculer $P(A)$, on découpe l’univers en morceaux $B_1, B_2, \ldots, B_n$ qui forment une partition :

• Deux à deux incompatibles : $B_i \cap B_j = \emptyset$
• Union égale à $\Omega$ : $B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega$

Alors :

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \ldots + P(A \cap B_n)$

Version conditionnelle :

$P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + \ldots + P(A | B_n) P(B_n)$

Cas $n = 2$ : partition $B, \overline{B}$

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A|B) P(B) + P(A|\overline{B}) P(\overline{B})$

C’est la version la plus courante en Terminale.

Exemple : dépistage

Une maladie touche $2 \%$ de la population. Un test :

• Positif si malade : $99 \%$
• Positif si sain : $5 \%$ (faux positifs)

Question : quelle est la proba qu’un test tiré au hasard soit positif ?

Soit $M$ = « malade », $T$ = « test positif ».

$P(M) = 0{,}02$, $P(\overline{M}) = 0{,}98$ $P(T | M) = 0{,}99$, $P(T | \overline{M}) = 0{,}05$

Formule des probas totales :

$P(T) = P(T|M) P(M) + P(T|\overline{M}) P(\overline{M}) = 0{,}99 \times 0{,}02 + 0{,}05 \times 0{,}98$

$P(T) = 0{,}0198 + 0{,}049 = 0{,}0688 \approx 6{,}9 \%$

Sur un arbre pondéré

Chaque chemin contribue par le produit de ses branches. La somme des chemins menant à $A$ donne $P(A)$.

C’est exactement la formule des probabilités totales visualisée.

Erreurs classiques

1. Additionner sans conditionner : $P(A) \neq P(A | B) + P(A | \overline{B})$.
2. Oublier de multiplier par $P(B_i)$ dans la version conditionnelle.
3. Utiliser une “partition” qui n’en est pas (union $\neq \Omega$).
4. Confondre $P(A \cap B)$ et $P(A | B)$.

?À toi de jouer

P(A|B) = 0,3, P(A|B̄) = 0,6, P(B) = 0,4. P(A) = ?

A.0,48B.0,90C.0,45D.0,18

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