Arbre pondéré : les 3 règles pour calculer une probabilité sans se planter

Les 3 règles

Règle 1 (le long d’une branche) : on multiplie les probabilités. $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

Règle 2 (à un nœud) : la somme des probas partant d’un nœud vaut 1.

Règle 3 (plusieurs branches menant au même événement) : on additionne les probas obtenues.

Exemple pas à pas

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire 2 boules successivement, sans remise. Quelle est la probabilité de tirer 2 rouges ?

Arbre :

• 1er tirage : P(R) = 3/5, P(N) = 2/5.
• 2e tirage, si 1er = R : reste 2R + 2N → P(R|R) = 2/4.
• 2e tirage, si 1er = N : reste 3R + 1N → P(R|N) = 3/4.

Calcul — 2 rouges = branche R → R : $P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$

Application classique

« 1 rouge et 1 noire, quel que soit l’ordre » = 2 branches à sommer : R→N et N→R.

• $P(RN) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20}$
• $P(NR) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20}$

Total : $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$.

Erreurs classiques

1. Additionner le long d’une branche au lieu de multiplier.
2. Oublier de sommer plusieurs branches menant au même résultat.
3. Oublier le « sans remise » : les probas du 2e tirage dépendent du 1er.
4. La somme des probas d’un nœud ≠ 1 : c’est un signe qu’on s’est trompé quelque part.

?À toi de jouer

Un sac contient 4 blanches et 6 noires. On tire 2 boules avec remise. Probabilité d'obtenir 2 blanches ?

A.16/100 = 4/25B.8/10 = 4/5C.4/10 × 3/9 = 2/15D.16/90

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