Produit scalaire : les 3 formules (coordonnées, norme×cos, projection)

Trois formules, un seul résultat

Selon ce qu’on te donne, choisis la formule la plus rapide.

1. Avec les coordonnées

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$

C’est la plus utile en pratique.

2. Avec les normes et l’angle

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$

où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs.

3. Avec la projection (moins usuelle)

Si $\vec{u'}$ est la projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u'} \cdot \vec{v}$

Propriété clé : orthogonalité

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

C’est le test pour vérifier si deux vecteurs sont perpendiculaires.

Exemple 1 (coordonnées)

$\vec{u}(3, 4)$ et $\vec{v}(-2, 5)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-2) + 4 \times 5 = -6 + 20 = 14$.

Exemple 2 (orthogonalité)

Les vecteurs $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(6, -4)$ sont-ils orthogonaux ? $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0$. Oui, ils sont orthogonaux.

Norme d’un vecteur (bonus)

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = x_u^2 + y_u^2$

Donc $\|\vec{u}(3, 4)\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Erreurs classiques

1. Confondre coordonnées de vecteur et coordonnées de point : le vecteur AB a pour coordonnées $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
2. Signe de cos(θ) : si $\theta$ est obtus, cos < 0, donc produit scalaire négatif.
3. Norme ≠ produit scalaire : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$, pas $\vec{u} \cdot \vec{u}$ directement.

?À toi de jouer

Quel est le produit scalaire de u(5, −2) et v(3, 4) ?

A.7B.23C.−8D.20

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