Signe d'un trinôme : la règle « signe de a sauf entre les racines »

La règle magique

Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $\Delta > 0$ : deux racines $x_1 < x_2$

$P(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.

$x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
Signe de $P$	signe de $a$	$0$	signe de $-a$	$0$

Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0$

$P(x)$ est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où $P = 0$.

Si $\Delta < 0$ : pas de racine

$P(x)$ est du signe de $a$ partout (jamais nul).

Exemple type

$P(x) = -2x^2 + 4x + 6$.

$\Delta = 16 + 48 = 64 > 0$. Racines : $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Ici $a = -2 < 0$ :

• $P > 0$ entre $-1$ et $3$
• $P < 0$ ailleurs

Inéquation express

Résoudre $x^2 - 3x + 2 > 0$.

Racines : $1$ et $2$. Ici $a = 1 > 0$.

⇒ $P > 0$ à l’extérieur : $S = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$.

Sans calculer les racines

Si tu vois vite une factorisation (ex : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$), utilise directement.

Si $\Delta$ n’est pas parfait, laisse en $\sqrt{\Delta}$ dans les racines.

Erreurs classiques

1. Oublier le signe de $a$ (le trinôme $-x^2 + 1$ est positif entre $-1$ et $1$, pas à l’extérieur).
2. Confondre équation ($=0$) et inéquation ($>0$).
3. Écrire $\Delta = b^2 + 4ac$ (c’est $-4ac$).

?À toi de jouer

Signe de x² − 5x + 6 sur ℝ ?

A.Positif hors [2, 3], négatif entre 2 et 3B.Positif partoutC.Négatif entre 5 et 6D.Négatif partout

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