Somme et produit des racines : S = −b/a, P = c/a

Les formules de Viète

Pour un trinôme $a x^2 + b x + c = 0$ avec deux racines $x_1$ et $x_2$ :

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$

$P = x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$

Pourquoi c’est utile ?

• Vérifier rapidement une factorisation.
• Trouver la seconde racine si l’on en connaît une.
• Construire un polynôme dont on connaît les racines.
• Étudier le signe sans calculer les racines.

Trouver la 2ème racine

Exemple : $x^2 - 7x + 12 = 0$. On voit que $x = 3$ est racine (car $9 - 21 + 12 = 0$).

Somme : $x_1 + x_2 = 7$, donc $x_2 = 7 - 3 = 4$.

Vérification par produit : $3 \times 4 = 12$. ✓

Construire un polynôme

Trouver un polynôme dont les racines sont $2$ et $-5$.

$S = 2 + (-5) = -3$, $P = 2 \times (-5) = -10$.

$P(x) = x^2 - S x + P = x^2 + 3x - 10$.

Signe des racines (sans calcul)

• Produit $P > 0$ : les deux racines ont le même signe.
• Produit $P < 0$ : elles ont des signes opposés.
• Somme $S > 0$ et $P > 0$ : deux racines positives.
• Somme $S < 0$ et $P > 0$ : deux racines négatives.

Attention

Ces formules ne marchent que si le trinôme a deux racines (réelles ou complexes), c’est-à-dire si $\Delta \neq 0$ ou $= 0$ (racine double : $S = 2x_0$).

Si $\Delta < 0$ dans $\mathbb{R}$ : formules valables dans $\mathbb{C}$ (les racines sont conjuguées).

Erreurs classiques

1. Oublier le $-$ dans $S = -b/a$.
2. Écrire $S = -b$ et $P = c$ en oubliant le facteur $a$.
3. Utiliser les formules pour un polynôme non normalisé sans diviser par $a$.

?À toi de jouer

x² − 9x + 20 = 0. Somme des racines ?

A.9B.−9C.20D.−20

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