Signe de f' et sens de variation de f : le lien clé

Le théorème

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• $f'(x) > 0$ sur $I$ ⇒ $f$ strictement croissante sur $I$
• $f'(x) < 0$ sur $I$ ⇒ $f$ strictement décroissante sur $I$
• $f'(x) = 0$ sur $I$ ⇒ $f$ constante sur $I$

Méthode : construire le tableau de variation

1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les points où $f$ change de variation.
3. Étudier le signe de $f'$ (souvent : trinôme, quotient, ou signes de produits).
4. Remplir le tableau : trois lignes ($x$, $f'(x)$, $f(x)$).
5. Calculer les valeurs aux points remarquables (extrema, bornes).

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$.

Signe : $f' > 0$ hors $[-1, 1]$, $f' < 0$ entre.

Tableau :

• Croissante sur $]-\infty, -1]$
• Décroissante sur $[-1, 1]$
• Croissante sur $[1, +\infty[$

Extrema : $f(-1) = 3$ (max local), $f(1) = -1$ (min local).

Repérer un extremum

Si $f'$ change de signe en $x_0$ :

• $f' : + \to -$ ⇒ maximum local en $x_0$.
• $f' : - \to +$ ⇒ minimum local en $x_0$.

Si $f'$ ne change pas de signe en $x_0$ (ex : $f'(x_0) = 0$ mais reste positif autour) : pas d’extremum.

Attention aux hypothèses

Le théorème demande $f$ dérivable sur un intervalle. Il ne s’applique pas sur $\mathbb{R}^*$ (deux intervalles séparés).

Contre-exemple : $f(x) = 1/x$ a $f'(x) = -1/x^2 < 0$ sur chaque intervalle, mais $f$ n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ (interruption en $0$).

Erreurs classiques

1. Conclure $f$ croissante sans étudier tout l’intervalle.
2. Oublier de dire “sur quel intervalle”.
3. Chercher un extremum sans vérifier le changement de signe de $f'$.
4. Confondre point critique ($f'(x_0) = 0$) et extremum (le second demande un changement de signe).

?À toi de jouer

f' change de − à + en x_0. Nature de x_0 ?

A.Minimum localB.Maximum localC.Point d'inflexionD.Rien de particulier

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