المسافة من نقطة إلى مستقيم: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

الصيغة

لنقطة $M(x_0, y_0)$ ومستقيم $(d)$ بمعادلة ديكارتية $a x + b y + c = 0$:

$d(M, (d)) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

التفسير

• البسط: مسافة موقَّعة (قد تكون موجبة أو سالبة)، نأخذ القيمة المطلقة.
• المقام: معيار المتّجهة الناظمية $\vec{n} = (a, b)$.

مثال نموذجي

المسافة من $M(3, 4)$ إلى المستقيم $(d): 3x - 4y + 5 = 0$.

$d = \dfrac{|3 \times 3 - 4 \times 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|9 - 16 + 5|}{\sqrt{25}} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.

حالات خاصة

مستقيم أفقي $y = k$ ⇒ المعادلة $0 \cdot x + 1 \cdot y - k = 0$.

$d(M, (d)) = |y_0 - k|$.

مستقيم عمودي $x = k$ ⇒ $d(M, (d)) = |x_0 - k|$.

الأصل إلى المستقيم: $d(O, (d)) = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

كتابة المعادلة

إذا كان المستقيم معطى بـ $y = m x + p$ (الشكل المُختزل)، حوّله إلى ديكارتي:

$m x - y + p = 0$

هنا $a = m$، $b = -1$، $c = p$.

أخطاء شائعة

1. نسيان القيمة المطلقة في البسط.
2. نسيان $\sqrt{a^2 + b^2}$ في المقام.
3. استعمال $y = mx + p$ كما هو دون تحويله إلى $ax + by + c = 0$.

?À toi de jouer

المسافة من O(0, 0) إلى المستقيم 3x + 4y − 10 = 0؟

A.2B.10C.5D.1/2

Valider