مركز الأثقال: متوسّط مرجَّح للمواقع

مركز أثقال نقطتَين مرجَّحتَين

مركز الأثقال $G$ لـ $(A, \alpha)$ و $(B, \beta)$ (مع $\alpha + \beta \neq 0$) هو النقطة بحيث:

$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$

صيغة الإحداثيات

إذا $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$:

$G = \left( \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \, ; \, \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta} \right)$

هو المتوسّط المرجَّح للإحداثيات.

حالة خاصة: المنتصف

إذا $\alpha = \beta$ (أثقال متساوية)، $G$ منتصف $[AB]$:

$G = \left( \dfrac{x_A + x_B}{2} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

مركز أثقال 3 نقاط: مركز الثقل

مركز ثقل $G$ لـ $A, B, C$ (أثقال متساوية) = مركز جاذبية المثلث:

$G = \left( \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$

في تقاطع المتوسّطات، على الثلث من القاعدة.

تعميم لـ $n$ نقاط

مركز أثقال $(A_1, \alpha_1), \ldots, (A_n, \alpha_n)$ (مع $\sum \alpha_i \neq 0$):

$G = \dfrac{\sum \alpha_i \overrightarrow{OA_i}}{\sum \alpha_i}$

(بالإحداثيات: متوسّط مرجَّح مركّبة بمركّبة).

خاصّية: التجميع

يمكن تجميع النقاط في مجموعات فرعية وأخذ مركز أثقال مراكز الأثقال الجزئية.

مثال: مركز أثقال $A, B, C$ (أثقال 1، 1، 2) = مركز أثقال [منتصف $[AB]$ بثقل 2] و [$C$ بثقل 2].

تطبيق 1: مركز الكتلة

في الفيزياء، مركز الأثقال هو مركز الكتلة. الثقل = كتلة كل نقطة.

تطبيق 2: تقسيم قطعة

نقطة $G$ تقسم $[AB]$ بالنسبة $\alpha : \beta$: $G$ مركز أثقال $(A, \beta)$ و $(B, \alpha)$ (أثقال معكوسة).

أخطاء شائعة

1. القسمة على $\alpha \times \beta$ بدل $\alpha + \beta$.
2. كتابة أثقال بمجموع صفري (غير معرَّف إذا $\sum \alpha_i = 0$).
3. قلب الأثقال في الصيغة.
4. الخلط بين مركز الثقل ومركز الأثقال (مركز الثقل = كل الأثقال متساوية).

?À toi de jouer

A(2, 0)، B(8, 6). مركز أثقال G لـ (A, 2) و (B, 1)؟

A.(4, 2)B.(5, 3)C.(6, 4)D.(10, 6)

Valider