Distance point-droite : |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

La formule

Pour un point $M(x_0, y_0)$ et une droite $(d)$ d’équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ :

$d(M, (d)) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Interprétation

• Numérateur : distance signée (positive ou négative), on prend la valeur absolue.
• Dénominateur : norme du vecteur normal $\vec{n} = (a, b)$.

Exemple type

Distance de $M(3, 4)$ à la droite $(d) : 3x - 4y + 5 = 0$.

$d = \dfrac{|3 \times 3 - 4 \times 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|9 - 16 + 5|}{\sqrt{25}} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.

Cas particuliers

Droite horizontale $y = k$ ⇒ équation $0 \cdot x + 1 \cdot y - k = 0$.

$d(M, (d)) = |y_0 - k|$.

Droite verticale $x = k$ ⇒ $d(M, (d)) = |x_0 - k|$.

Origine à la droite : $d(O, (d)) = \dfrac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Mise en équation

Si la droite est donnée par $y = m x + p$ (forme réduite), la mettre en cartésienne :

$m x - y + p = 0$

Ici $a = m$, $b = -1$, $c = p$.

Erreurs classiques

1. Oublier la valeur absolue au numérateur.
2. Oublier $\sqrt{a^2 + b^2}$ au dénominateur.
3. Utiliser $y = mx + p$ tel quel sans le passer en $ax + by + c = 0$.

?À toi de jouer

Distance de O(0, 0) à la droite 3x + 4y − 10 = 0 ?

A.2B.10C.5D.1/2

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