مساحة مثلث بالجيب: ½·a·b·sin(C)

الصيغة

لمثلث بضلعَين $a$ و $b$ وزاوية بينهما $C$:

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)$

لماذا تعمل

إذا كان $a$ و $b$ يخرجان من الرأس $C$، فالارتفاع المتعلّق بـ $b$ يساوي $a \sin(C)$.

إذًا المساحة = القاعدة × الارتفاع / 2 = $b \times a \sin(C) / 2$.

مثال

مثلث بـ $a = 8$، $b = 5$، الزاوية بينهما $60°$.

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin(60°) = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3$

صيغة بديلة بـ 3 أضلاع (هيرون)

إذا عرفت الأضلاع الثلاثة $a, b, c$ (بلا زاوية):

نصف المحيط $p = (a + b + c)/2$.

$\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

مثلث متساوي الأضلاع (ضلع $c$)

صيغة مباشرة: $\mathcal{A} = \dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}$.

تحقّق: بصيغة الجيب، $\dfrac{1}{2} c \cdot c \sin(60°) = \dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}$. ✓

تطبيق عكسي

مساحة معلومة + ضلعان ⇒ إيجاد الزاوية:

$\sin(C) = \dfrac{2 \mathcal{A}}{a b}$

⚠️ $\sin$ يعطي زاويتَين ممكنتَين في $[0°, 180°]$ (باستثناء 90°).

أخطاء شائعة

1. استعمال زاوية ليست بين الضلعَين.
2. نسيان $1/2$.
3. جيب مقابل جيب تمام: $\sin$، لا $\cos$.
4. درجات مقابل رديان — تحقّق من الآلة الحاسبة.

?À toi de jouer

مساحة مثلث: a = 10، b = 6، الزاوية بينهما = 30°؟

A.15B.30C.60D.60√3

Valider