الاتصال ومبرهنة القيم الوسيطة: أداة لإثبات وجود حل لمعادلة

المبرهنة

مبرهنة القيم الوسيطة (TVI) — إذا كانت $f$ متصلّة على $[a, b]$، فلكل عدد حقيقي $k$ محصور بين $f(a)$ و $f(b)$، يوجد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f(c) = k$.

النتيجة الشائعة (نسخة “تنعدم”)

إذا كانت $f$ متصلّة على $[a, b]$ و $f(a)$ و $f(b)$ لهما إشارتان متعاكستان، فيوجد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f(c) = 0$.

وإذا كانت $f$ رتيبة قطعًا، فإن هذا $c$ وحيد.

الطريقة

لإثبات أنّ $f(x) = 0$ لها حلّ على $[a, b]$:

1. تحقّق من الاتصال (كثيرات الحدود، sin، cos، exp، ln متصلّة على مجالها).
2. احسب $f(a)$ و $f(b)$.
3. تحقّق من تعاكس الإشارتين (الجداء < 0).
4. استنتج بـ TVI.
5. اختياري: الوحدانية بالرتابة القطعية (إشارة $f'$).

مثال نموذجي

بيّن أنّ $x^3 + x - 1 = 0$ لها حلّ وحيد في $[0, 1]$.

• $f(x) = x^3 + x - 1$ كثير حدود، إذن متصلّة على $[0, 1]$.
• $f(0) = -1 < 0$ و $f(1) = 1 > 0$: إشارتان متعاكستان.
• بـ TVI، يوجد $c \in [0, 1]$ بحيث $f(c) = 0$.
• $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: $f$ متزايدة قطعًا.
• إذن الحل وحيد.

أخطاء شائعة

1. نسيان الاتصال: بدون اتصال، TVI لا تنطبق.
2. الخلط بين الوجود والوحدانية: TVI تعطي على الأقل c، وليس بالضبط c.
3. إشارتان متساويتان: للنتيجة يجب أن تكونا متعاكستَين قطعًا.
4. مجال واحد قد لا يكفي: أحيانًا يجب تقسيم $[a, b]$.