التكامل بالتجزئة: الصيغة ومتى نستعملها

الصيغة

$\int_a^b u'(x) v(x) \, dx = \Big[ u(x) v(x) \Big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, dx$

النسخة بلا حدود (دالة أصلية):

$\int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx$

متى نستعملها؟

عندما يكون داخل التكامل جداءَ دالتَين، إحداهما تُشتقّ جيّدًا (متعدّدة الحدود → ثابت) والأخرى تتكامل جيّدًا ($e^x, \sin, \cos, \ln$).

اختيار “LIATE”

لاختيار $v$ (الذي نشتقّ): الأولوية لأول ما يظهر في LIATE.

• Logarithme (لوغاريتم)
• Inverse trigo (مثلثي عكسي، $\arctan$…)
• Algébrique (جبري، متعدّدة الحدود)
• Trigo (مثلثي، $\sin$، $\cos$)
• Exponentielle (أسي)

الباقي يصبح $u'$ (الذي نُكامل).

مثال 1: $\int x e^x \, dx$

$v = x$ (متعدّدة الحدود)، $u' = e^x$.

إذًا $v' = 1$، $u = e^x$.

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C$

مثال 2: $\int \ln(x) \, dx$

خدعة: اكتب $\ln(x) = 1 \times \ln(x)$.

$v = \ln(x)$ (لوغاريتم)، $u' = 1$.

$v' = 1/x$، $u = x$.

$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - x + C$

مثال 3: $\int x \cos(x) \, dx$

$v = x$، $u' = \cos(x)$.

$v' = 1$، $u = \sin(x)$.

$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$

تكاملَان بالتجزئة متتاليان ($\int x^2 e^x$)

أحيانًا يلزم إعادة التجزئة:

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x - 1) e^x + C$

أخطاء شائعة

1. خطأ في الإشارة في الصيغة.
2. اختيار $v = e^x$ في $\int x e^x$ (يجعل التكامل أصعب).
3. نسيان الحدود في $[uv]_a^b$.
4. نسيان الثابت $C$ لدالة أصلية.

?À toi de jouer

لـ ∫ x·ln(x) dx، نضع:

A.v = ln(x)، u' = xB.v = x، u' = ln(x)C.v = x·ln(x)، u' = 1D.التجزئة غير مفيدة هنا

Valider