Intégration par parties : la formule et quand l'utiliser

La formule

$\int_a^b u'(x) v(x) \, dx = \Big[ u(x) v(x) \Big]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, dx$

Version sans bornes (primitive) :

$\int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx$

Quand l’utiliser ?

Quand l’intégrande est un produit de deux fonctions dont l’une se dérive bien (polynôme → constante) et l’autre s’intègre bien ($e^x, \sin, \cos, \ln$).

Le choix “LIATE”

Pour choisir qui est $v$ (celui qu’on dérive) : priorité à la première qui apparaît dans LIATE.

• Logarithme
• Inverse trigo ($\arctan$, …)
• Algébrique (polynôme)
• Trigo ($\sin$, $\cos$)
• Exponentielle

Le reste devient $u'$ (qu’on intègre).

Exemple 1 : $\int x e^x \, dx$

$v = x$ (polynôme), $u' = e^x$.

Donc $v' = 1$, $u = e^x$.

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C$

Exemple 2 : $\int \ln(x) \, dx$

Astuce : écrire $\ln(x) = 1 \times \ln(x)$.

$v = \ln(x)$ (logarithme), $u' = 1$.

$v' = 1/x$, $u = x$.

$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - x + C$

Exemple 3 : $\int x \cos(x) \, dx$

$v = x$, $u' = \cos(x)$.

$v' = 1$, $u = \sin(x)$.

$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$

Deux IPP successives ($\int x^2 e^x$)

Parfois il faut refaire l’IPP :

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x - 1) e^x + C$

Erreurs classiques

1. Se tromper de signe dans la formule.
2. Choisir $v = e^x$ dans $\int x e^x$ (rend l’intégrale plus dure).
3. Oublier les bornes dans $[uv]_a^b$.
4. Oublier la constante $C$ pour une primitive.

?À toi de jouer

Pour ∫ x·ln(x) dx, on pose :

A.v = ln(x), u' = xB.v = x, u' = ln(x)C.v = x·ln(x), u' = 1D.IPP inutile ici

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