الجذور n-ية للوحدة: رؤوس مضلّع منتظم

الصيغة

الجذور n-ية للوحدة هي الحلول العقدية n للمعادلة $z^n = 1$:

$z_k = e^{2 i k \pi / n} = \cos\left(\dfrac{2 k \pi}{n}\right) + i \sin\left(\dfrac{2 k \pi}{n}\right)$

لـ $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$.

التمثيل الهندسي

كل هذه الجذور معيارها 1، إذًا تقع على دائرة الوحدة.

هي موزّعة بانتظام بزاوية $\dfrac{2\pi}{n}$، تُشكِّل رؤوس مضلّع منتظم بـ $n$ ضلعًا محاط بالدائرة.

الحالات $n = 2, 3, 4$

$n = 2$: $z^2 = 1$ ⇒ $z = 1$ أو $z = -1$. نقطتان قُطريّتان.

$n = 3$: $z^3 = 1$ ⇒ $z = 1$، $j = e^{2i\pi/3}$، $j^2 = e^{-2i\pi/3}$. مثلث متساوي الأضلاع.

$n = 4$: $z^4 = 1$ ⇒ $z = 1, i, -1, -i$. مربع محاط.

خواص سحرية

مجموع منعدم (إذا $n \geq 2$): $\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0$

يأتي من صيغة المجموع الهندسي.

الجداء = $(-1)^{n-1}$.

الجذور n-ية لعدد عقدي كيفي

لحل $z^n = w$ حيث $w = r e^{i\alpha}$:

$z_k = r^{1/n} \, e^{i(\alpha + 2 k \pi)/n}$

لـ $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

العدد $j$ الواجب حفظه

$j = e^{2 i \pi / 3} = -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

الخواص: $j^3 = 1$، $1 + j + j^2 = 0$، $\overline{j} = j^2 = 1/j$.

أخطاء شائعة

1. الاعتقاد بوجود جذر واحد ($z^n = 1$ يقبل بالضبط $n$ حلًا في $\mathbb{C}$).
2. نسيان $2\pi$ في الصيغة (لا $\pi$).
3. الخلط بين $j$ (عقدي) والمتّجهة $\vec{j}$ (انتبه للاصطلاحات).

?À toi de jouer

عدد الجذور التكعيبية للـ 1 في ℂ؟

A.3B.1C.2D.6

Valider