دالتا المقلوب والمربّع: التغيّرات والمنحنيات

دالة المربّع: $f(x) = x^2$

المجال: $\mathbb{R}$ (أي $x$ ممكن).

التغيّرات:

• متناقصة على $(-\infty, 0]$
• متزايدة على $[0, +\infty)$
• دنيا عند $0$: $f(0) = 0$.

التناظر: $f(-x) = f(x)$ ⇒ دالة زوجية (منحنى متناظر حول محور التراتيب).

المنحنى: قطع مكافئ رأسه $O(0, 0)$، مفتوح نحو الأعلى.

دالة المقلوب: $f(x) = \dfrac{1}{x}$

المجال: $\mathbb{R}^* = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ (ممنوع: $x = 0$).

التغيّرات:

• متناقصة على $(-\infty, 0)$
• متناقصة على $(0, +\infty)$

⚠️ ليست متناقصة على $\mathbb{R}^*$ (انقطاع عند 0).

التناظر: $f(-x) = -f(x)$ ⇒ دالة فردية (منحنى متناظر حول الأصل).

المنحنى: هذلول بفرعَين، مقاربات $x = 0$ (عمودية) و $y = 0$ (أفقية).

جدول مقارنة

	المربّع $x^2$	المقلوب $1/x$
المجال	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}^*$
الشفعية	زوجية	فردية
التناظر	محور $y$	الأصل
المنحنى	قطع مكافئ	هذلول
قيمة قصوى	دنيا في 0	لا شيء

حل متراجحات كلاسيكية

$x^2 < 4$ ⇒ $-2 < x < 2$ (داخل القطع).

$x^2 > 4$ ⇒ $x < -2$ أو $x > 2$.

$\dfrac{1}{x} < 2$ لـ $x > 0$ ⇒ $x > \dfrac{1}{2}$ (انتبه للاتجاه).

⚠️ $\dfrac{1}{x} < 2$ لـ $x < 0$: صحيحة دائمًا (مقلوب سالب < 2).

أخطاء شائعة

1. قول إنّ $1/x$ متناقصة على $\mathbb{R}^*$ (خطأ: متناقصة على كل مجال منفصل).
2. ضرب متراجحة في $x$ دون النظر إلى الإشارة.
3. نسيان الرأس عند $0$ للقطع المكافئ.

?À toi de jouer

الدالة f(x) = x² هي:

A.زوجية، دنيا عند 0B.فردية، دنيا عند 0C.زوجية، قصوى عند 0D.لا زوجية ولا فردية

Valider