Fonctions inverse et carré : variations et courbes

Fonction carré : $f(x) = x^2$

Domaine : $\mathbb{R}$ (tout $x$ possible).

Variations :

• Décroissante sur $]-\infty, 0]$
• Croissante sur $[0, +\infty[$
• Minimum en $0$ : $f(0) = 0$.

Symétrie : $f(-x) = f(x)$ ⇒ fonction paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).

Courbe : parabole de sommet $O(0, 0)$, tournée vers le haut.

Fonction inverse : $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Domaine : $\mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ (interdit : $x = 0$).

Variations :

• Décroissante sur $]-\infty, 0[$
• Décroissante sur $]0, +\infty[$

⚠️ PAS décroissante sur $\mathbb{R}^*$ (interruption en 0).

Symétrie : $f(-x) = -f(x)$ ⇒ fonction impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine).

Courbe : hyperbole à 2 branches, asymptotes $x = 0$ (verticale) et $y = 0$ (horizontale).

Tableau comparatif

	Carré $x^2$	Inverse $1/x$
Domaine	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}^*$
Parité	Paire	Impaire
Symétrie	Axe $y$	Origine
Courbe	Parabole	Hyperbole
Extremum	Min en 0	Aucun

Résolution d’inéquations classiques

$x^2 < 4$ ⇒ $-2 < x < 2$ (dans le creux de la parabole).

$x^2 > 4$ ⇒ $x < -2$ ou $x > 2$.

$\dfrac{1}{x} < 2$ pour $x > 0$ ⇒ $x > \dfrac{1}{2}$ (attention au sens).

⚠️ $\dfrac{1}{x} < 2$ pour $x < 0$ : toujours vrai (inverse négatif < 2).

Erreurs classiques

1. Dire $1/x$ décroissante sur $\mathbb{R}^*$ (faux : décroit sur chaque intervalle séparément).
2. Multiplier une inéquation par $x$ sans regarder le signe.
3. Oublier le sommet en $0$ de la parabole.

?À toi de jouer

La fonction f(x) = x² est :

A.Paire, minimum en 0B.Impaire, minimum en 0C.Paire, maximum en 0D.Ni paire ni impaire

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