معادلة المماس: y = f'(a)(x − a) + f(a)

الصيغة السحرية

المماس لمنحنى $f$ عند $x = a$ معادلته:

$y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$

• الميل: $f'(a)$.
• يمرّ بـ $(a, f(a))$.

طريقة في 3 خطوات

1. احسب $f'(x)$.
2. قيِّم $f(a)$ و $f'(a)$.
3. عوّض في الصيغة.

مثال

المماس لـ $f(x) = x^2$ عند $a = 3$:

$f(3) = 9$، $f'(x) = 2x$، $f'(3) = 6$.

$y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$

حالات خاصة

• مماس أفقي ($f'(a) = 0$): $y = f(a)$. غالبًا قيمة قصوى.
• مماس عمودي: $f$ غير قابلة للاشتقاق في $a$ (مثل $\sqrt{x}$ عند $0$).

المنحنى مقابل المماس

• إذا $f'' > 0$ قرب $a$: $f$ محدّبة ⇒ المنحنى فوق المماس.
• إذا $f'' < 0$: $f$ مقعّرة ⇒ المنحنى تحت.
• إذا $f''(a) = 0$ مع تغيّر إشارة: نقطة انعطاف (المنحنى يعبر المماس).

تطبيق: تقريب

لـ $x$ قرب $a$: $f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a)$.

الأساس للـ نشور تايلور.

أخطاء شائعة

1. نسيان حساب $f'(a)$ (استعمال $f(a)$ بدلًا).
2. كتابة $y = f'(a) x + f(a)$ (نسيان $(x - a)$).
3. خطأ إشارة في $(x - a)$ مقابل $(a - x)$.
4. استعمال $f'(x)$ بلا تقييم (الاحتفاظ بـ $x$ بدل التعويض بـ $a$).

?À toi de jouer

المماس لـ f(x) = x³ عند a = 2؟

A.y = 12x − 16B.y = 3x² − 4C.y = 12(x − 2)D.y = 8 + 12x

Valider