الدالة الهوموغرافية: (ax+b)/(cx+d) وهذلولها

التعريف

دالة هوموغرافية لها الشكل:

$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$

مع $c \neq 0$ و $ad - bc \neq 0$ (وإلا $f$ ثابتة).

المجال

يجب ألا ينعدم المقام: $cx + d \neq 0$، إذًا $x \neq -d/c$.

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$

المقاربات

• مقاربة عمودية: $x = -d/c$ (حيث ينعدم المقام).
• مقاربة أفقية: $y = a/c$ (النهاية في $\pm\infty$: قسمة الحدَّين المهيمنَين).

المشتقة والتغيّرات

$f'(x) = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

المقام دائمًا موجب (مربّع)، إذًا إشارة $f'$ = إشارة $ad - bc$.

• إذا $ad - bc > 0$ ⇒ $f$ متزايدة على كل مجال.
• إذا $ad - bc < 0$ ⇒ $f$ متناقصة على كل مجال.

⚠️ على كل مجال منفصلًا، لا على كامل $D_f$.

المنحنى

هذلول مقاربتاه العمودية والأفقية هما المحوران المُزاحان.

مركز التناظر: $\big(-d/c \, , \, a/c\big)$ = تقاطع المقاربتَين.

مثال: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

• المجال: $x \neq 3$.
• المقاربة العمودية: $x = 3$.
• المقاربة الأفقية: $y = 2$ (لأنّ $a/c = 2/1$).
• $ad - bc = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -7 < 0$ ⇒ $f$ متناقصة على $(-\infty, 3)$ وعلى $(3, +\infty)$.

أخطاء شائعة

1. قول $f$ متناقصة على $\mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$ (خطأ بسبب الانقطاع).
2. نسيان المقاربة الأفقية ($y = 0$ صحيح فقط إذا $a = 0$).
3. الخلط بين المقاربة والمماس.
4. حساب $f(-d/c)$ (ممنوع).

?À toi de jouer

مقاربات f(x) = (3x + 5)/(x − 2)؟

A.x = 2 و y = 3B.x = −2 و y = 3C.x = 2 و y = 5D.x = 3 و y = 2

Valider