مجموع وجداء الجذور: S = −b/a، P = c/a

صيغتا فييت

لثلاثية الحدود $a x^2 + b x + c = 0$ بجذرَين $x_1$ و $x_2$:

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$

$P = x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$

لماذا مفيدة؟

• التحقّق بسرعة من تعميل.
• إيجاد الجذر الثاني إذا عرفنا الأول.
• إنشاء حدودية بجذور معروفة.
• دراسة إشارة الجذور دون حسابها.

إيجاد الجذر الثاني

مثال: $x^2 - 7x + 12 = 0$. نلاحظ أنّ $x = 3$ جذر (لأنّ $9 - 21 + 12 = 0$).

المجموع: $x_1 + x_2 = 7$، إذًا $x_2 = 7 - 3 = 4$.

تحقّق بالجداء: $3 \times 4 = 12$. ✓

إنشاء حدودية

أوجد حدودية جذوراها $2$ و $-5$.

$S = 2 + (-5) = -3$، $P = 2 \times (-5) = -10$.

$P(x) = x^2 - S x + P = x^2 + 3x - 10$.

إشارة الجذور (دون حساب)

• الجداء $P > 0$: الجذران لهما نفس الإشارة.
• الجداء $P < 0$: لهما إشارتان مختلفتان.
• المجموع $S > 0$ و $P > 0$: جذران موجبان.
• المجموع $S < 0$ و $P > 0$: جذران سالبان.

انتبه

هذه الصيغ تصلح فقط إذا كان لثلاثية الحدود جذران (حقيقيان أو عقديان)، أي $\Delta \neq 0$ أو $= 0$ (جذر مزدوج: $S = 2x_0$).

إذا $\Delta < 0$ في $\mathbb{R}$: الصيغ صالحة في $\mathbb{C}$ (الجذران مترافقان).

أخطاء شائعة

1. نسيان الـ $-$ في $S = -b/a$.
2. كتابة $S = -b$ و $P = c$ ونسيان العامل $a$.
3. استعمال الصيغ لحدودية غير موحَّدة دون القسمة على $a$.

?À toi de jouer

x² − 9x + 20 = 0. مجموع الجذور؟

A.9B.−9C.20D.−20

Valider