Fonction homographique : (ax+b)/(cx+d) et son hyperbole

Définition

Une fonction homographique est une fonction de la forme :

$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$

avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (sinon $f$ est constante).

Domaine

Le dénominateur ne doit pas s’annuler : $cx + d \neq 0$, donc $x \neq -d/c$.

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$

Asymptotes

• Asymptote verticale : $x = -d/c$ (là où le dénominateur s’annule).
• Asymptote horizontale : $y = a/c$ (limite en $\pm\infty$, car quotient des termes dominants).

Dérivée et variations

$f'(x) = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

Le dénominateur est toujours positif (carré), donc le signe de $f'$ = signe de $ad - bc$.

• Si $ad - bc > 0$ ⇒ $f$ croissante sur chaque intervalle.
• Si $ad - bc < 0$ ⇒ $f$ décroissante sur chaque intervalle.

⚠️ Sur chaque intervalle séparément, jamais sur tout $D_f$.

Courbe

C’est une hyperbole dont l’asymptote verticale et l’asymptote horizontale sont les axes translatés.

Le centre de symétrie est $\big(-d/c \, , \, a/c\big)$ = intersection des asymptotes.

Exemple : $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

• Domaine : $x \neq 3$.
• Asymptote verticale : $x = 3$.
• Asymptote horizontale : $y = 2$ (car $a/c = 2/1$).
• $ad - bc = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -7 < 0$ ⇒ $f$ décroissante sur $]-\infty, 3[$ et sur $]3, +\infty[$.

Erreurs classiques

1. Dire $f$ décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$ (faux à cause de l’interruption).
2. Oublier l’asymptote horizontale ($y = 0$ n’est vrai que si $a = 0$).
3. Confondre asymptote et tangente.
4. Calculer une image en $-d/c$ (interdit).

?À toi de jouer

Asymptotes de f(x) = (3x + 5)/(x − 2) ?

A.x = 2 et y = 3B.x = −2 et y = 3C.x = 2 et y = 5D.x = 3 et y = 2

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