الدالة الزوجية والفردية: التناظران الواجب معرفتهما

التعاريف

لتكن $f$ معرَّفة على مجال متناظر حول 0 (مثل $\mathbb{R}$، $[-a, a]$).

• زوجية: $f(-x) = f(x)$ لكل $x$.
• فردية: $f(-x) = -f(x)$ لكل $x$.

⚠️ الدالة ليست ملزَمة بأن تكون زوجية أو فردية.

التفسير البياني

• زوجية: منحنى متناظر حول محور التراتيب (محور $y$).
• فردية: منحنى متناظر حول الأصل (دوران 180°).

دوال مرجعية

الدالة	الشفعية
$x^2, x^4, x^6, \ldots$	زوجية
$x, x^3, x^5, \ldots$	فردية
$\cos(x)$	زوجية
$\sin(x)$	فردية
$\tan(x)$	فردية
$	x
$e^x$	لا زوجية ولا فردية
$\ln(x)$	المجال غير متناظر

الطريقة

1. تحقّق من تناظر المجال (وإلا مستحيل).
2. احسب $f(-x)$.
3. قارن بـ $f(x)$ أو $-f(x)$.

مثال: $f(x) = 3x^2 - 5$

$f(-x) = 3(-x)^2 - 5 = 3x^2 - 5 = f(x)$ ⇒ زوجية.

مثال: $f(x) = x^3 - x$

$f(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$ ⇒ فردية.

المجموع والجداء

• زوجية + زوجية = زوجية.
• فردية + فردية = فردية.
• زوجية × زوجية = زوجية.
• فردية × فردية = زوجية.
• زوجية × فردية = فردية.

تطبيق على التكاملات

• $f$ فردية ⇒ $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$.
• $f$ زوجية ⇒ $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2 \int_0^a f(x)\, dx$.

أخطاء شائعة

1. كتابة $f(-x) = -f(x)$ لقول «زوجية» (هذه فردية).
2. نسيان التحقّق من تناظر المجال.
3. الاعتقاد أنّ الدالة دائمًا زوجية أو فردية ($e^x$ لا هذا ولا ذاك).

?À toi de jouer

f(x) = x⁴ + 2x². الشفعية؟

A.زوجيةB.فرديةC.لا زوجية ولا فرديةD.لا يمكن القول

Valider