Suite croissante + majorée ⇒ converge : le théorème star

Le théorème

Toute suite croissante et majorée converge (vers une limite finie).

Symétriquement : toute suite décroissante et minorée converge.

⚠️ Le théorème n’indique pas la limite, il garantit seulement qu’elle existe.

Rappels de vocabulaire

• $(u_n)$ croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
• $(u_n)$ majorée par $M$ : $u_n \leq M$ pour tout $n$.
• Convergente : $\lim u_n = \ell$ (fini).

Méthode d’application

Pour montrer que $(u_n)$ converge sans connaître sa limite :

1. Monotonie : montrer que $u_{n+1} - u_n \geq 0$ (souvent par récurrence).
2. Majoration : trouver un $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
3. Conclure par le théorème.

Trouver la limite (après avoir prouvé la convergence)

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_n \to \ell$, alors (si $f$ continue) $\ell = f(\ell)$.

On résout l’équation $\ell = f(\ell)$ pour trouver la limite.

Exemple

$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

Par récurrence, on montre :

• $(u_n)$ est croissante ($u_{n+1} \geq u_n$).
• $(u_n)$ est majorée par $2$.

Donc $(u_n)$ converge vers un $\ell \leq 2$.

Limite : $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 = \ell + 2$, donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, $\ell = 2$ (l’autre racine $-1$ est écartée car $u_n > 0$).

Contre-exemple

$u_n = n$ est croissante mais non majorée ⇒ diverge vers $+\infty$.

Erreurs classiques

1. Oublier de vérifier la majoration (croissante seule ne suffit pas).
2. Croire que la limite = majorant (pas toujours).
3. Oublier la continuité de $f$ pour identifier la limite.

?À toi de jouer

Une suite croissante non majorée :

A.Diverge vers +∞B.ConvergeC.Peut diverger ou convergerD.Est stationnaire

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