مبرهنة القيم الوسطية (TVI): الطريقة في 3 خطوات

نصّ TVI

إذا كانت $f$ مستمرة على $[a, b]$ و $k$ محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$، فإنّه يوجد حلّ واحد على الأقل $c \in [a, b]$ بحيث $f(c) = k$.

بوضوح: الدالة المستمرة «تأخذ كل القيم بين» $f(a)$ و $f(b)$.

حالة خاصة: $k = 0$

إذا كانت $f$ مستمرة على $[a, b]$ و $f(a) \times f(b) < 0$ (إشارتان معاكستان)، فإنّ $f$ تنعدم مرة واحدة على الأقل على $(a, b)$.

نتيجة (تقابل): الوحدانية

إذا كانت $f$ مستمرة ورتيبة قطعًا على $[a, b]$، و $k$ محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$، فإنّه يوجد حلّ وحيد $c \in [a, b]$ بحيث $f(c) = k$.

طريقة في 3 خطوات

لإثبات أنّ $f(x) = k$ يقبل حلًّا وحيدًا على $[a, b]$:

1. الاستمرارية: اذكر أنّ $f$ مستمرة (غالبًا لأنّها قابلة للاشتقاق).
2. الرتابة القطعية: ادرس $f'$، قل «$f$ متزايدة قطعًا على $[a, b]$».
3. الحصر: تحقّق من $f(a) < k < f(b)$ (أو العكس). استنتج بالنتيجة.

مثال نموذجي

بيّن أنّ $x^3 + x - 1 = 0$ يقبل حلًّا وحيدًا في $[0, 1]$.

لتكن $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ متعدّدة الحدود ⇒ مستمرة على $[0, 1]$.
2. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ ⇒ $f$ متزايدة قطعًا.
3. $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$.

نتيجة TVI ⇒ حلّ وحيد في $(0, 1)$.

تعيين الحلّ (الاختزال بنصفَين)

بمجرد إثبات الوجود، يمكن تقريب الحلّ بتجزئة المجال إلى نصفَين والاحتفاظ بالذي تتغيّر فيه إشارة $f$. هذه هي طريقة الاختزال.

أخطاء شائعة

1. نسيان الاستمرارية (أساسية: بدونها TVI لا يعمل).
2. استعمال TVI البسيطة للوحدانية (لا تعطي إلا الوجود).
3. الخلط بين رتابة $f$ ورتابة $f'$.
4. نسيان التحقّق من الحصر $f(a) < k < f(b)$.

?À toi de jouer

TVI + رتابة قطعية تعطيان:

A.الوجود والوحدانيةB.الوجود فقطC.الوحدانية فقطD.لا شيء مؤكّد

Valider