مجموع أول n أعداد: صيغة غاوس | الثانوي

الصيغة

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

اكتب المجموع بالترتيب ثم بالعكس:

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$ $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$

اجمع السطرَين حدًّا بحدّ:

$2S = (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1) = n(n+1)$

إذًا $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

1 + 2 + … + 100 = $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$ .

مجموع الأعداد من $p$ إلى $n$ (مع $p \leq n$ ): $p + (p+1) + \ldots + n = \dfrac{(n+p)(n-p+1)}{2}$

عدد الحدود × المتوسّط: $S = (\text{عدد الحدود}) \times \dfrac{\text{الأول} + \text{الأخير}}{2}$

مجموع المربّعات: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

مجموع المكعّبات (جميل!): $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$

الأساس: $n=1$ ، $S_1 = 1 = 1 \cdot 2 / 2$ . ✓

الوراثة: إذا $S_n = n(n+1)/2$ ، فإنّ $S_{n+1} = S_n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓

القسمة على 3 بدل 2.
استعمال $(n+1)/2$ ونسيان $n$ .
الخلط بين عدد الحدود و $n$ : من $1$ إلى $n$ = $n$ حدًّا؛ من $p$ إلى $n$ = $n - p + 1$ حدًّا.

?À toi de jouer

1 + 2 + 3 + ... + 50 = ?