1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 : la formule de Gauss

La formule

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

L’astuce du petit Gauss

Écris la somme dans l’ordre puis à l’envers :

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$ $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$

Additionne les deux lignes terme à terme :

$2S = (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1) = n(n+1)$

Donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Applications rapides

1 + 2 + … + 100 = $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$.

Somme des entiers de $p$ à $n$ (avec $p \leq n$) : $p + (p+1) + \ldots + n = \dfrac{(n+p)(n-p+1)}{2}$

Nombre de termes × moyenne : formule interprétable comme $S = (\text{nb termes}) \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$

Formules cousines à connaître

Somme des carrés : $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Somme des cubes (magnifique !) : $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right)^2$

Démonstration par récurrence

Initialisation : $n=1$, $S_1 = 1 = 1 \cdot 2 / 2$. ✓

Hérédité : si $S_n = n(n+1)/2$, alors $S_{n+1} = S_n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓

Erreurs classiques

1. Diviser par 3 au lieu de 2.
2. Utiliser $(n+1)/2$ en oubliant le $n$.
3. Confondre nombre de termes et $n$ : de $1$ à $n$ = $n$ termes ; de $p$ à $n$ = $n - p + 1$ termes.

?À toi de jouer

1 + 2 + 3 + ... + 50 = ?

A.1275B.2550C.50D.1250

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