معادلة بقيمة مطلقة: |ax+b| = k لها 0، 1، أو 2 حلول

القاعدة

لـ $|A| = k$:

• إذا $k < 0$: لا حلّ ($|A| \geq 0$ دائمًا).
• إذا $k = 0$: $A = 0$ (معادلة واحدة).
• إذا $k > 0$: $A = k$ أو $A = -k$ (معادلتان).

مثال نموذجي

حلّ $|2x - 3| = 5$.

$k = 5 > 0$، حالتان:

• $2x - 3 = 5$ ⇒ $x = 4$
• $2x - 3 = -5$ ⇒ $x = -1$

الحلول: $S = \{-1 \, ; \, 4\}$.

التفسير الهندسي

$|x - a| = k$ يعني «المسافة بين $x$ و $a$ تساوي $k$».

$|x - a| = k$ ⇒ $x = a - k$ أو $x = a + k$.

متراجحة $|A| \leq k$ (مع $k > 0$)

$|A| \leq k \iff -k \leq A \leq k$

مثال: $|x - 3| \leq 2$ ⇒ $-2 \leq x - 3 \leq 2$ ⇒ $1 \leq x \leq 5$.

متراجحة $|A| \geq k$ (مع $k > 0$)

$|A| \geq k \iff A \leq -k \text{ أو } A \geq k$

مثال: $|x + 1| \geq 3$ ⇒ $x + 1 \leq -3$ أو $x + 1 \geq 3$ ⇒ $x \leq -4$ أو $x \geq 2$.

معادلة $|A| = |B|$

$|A| = |B| \iff A = B \text{ أو } A = -B$

مثال: $|x + 1| = |2x - 5|$ ⇒ $x + 1 = 2x - 5$ أو $x + 1 = -(2x - 5)$ ⇒ $x = 6$ أو $x = 4/3$.

أخطاء شائعة

1. نسيان حالة $A = -k$ (حلّ واحد فقط).
2. كتابة $|A| = k$ مع $k < 0$ بحلول.
3. الخلط بين $|A|$ و $A$ (القيمة المطلقة موجبة دائمًا).
4. كتابة $|a + b| = |a| + |b|$ (خطأ عمومًا، الصحيح $\leq$).

?À toi de jouer

حلّ |3x + 6| = 9

A.x = 1 أو x = −5B.x = 1 فقطC.x = 3 أو x = −3D.لا حلّ

Valider