قانون الكاشي: تعميم فيثاغورس على كل المثلثات

الصيغة

في مثلث $ABC$ (أي مثلث):

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$

مع $a = BC$ (المقابل لـ $A$)، $b = AC$، $c = AB$.

كذلك لـ $B, C$:

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$

الحالة الخاصّة: $\widehat{A} = 90°$

$\cos(90°) = 0$، إذن: $a^2 = b^2 + c^2$

فيثاغورس! قانون الكاشي يحتوي فيثاغورس.

استعمالان

الاستعمال 1: إيجاد ضلع بمعرفة ضلعَين وزاويتهما

$b = 5$، $c = 7$، $\widehat{A} = 60°$. جد $a$.

$a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times 0{,}5 = 39$ $a \approx 6{,}24$.

الاستعمال 2: إيجاد زاوية بمعرفة الأضلاع الثلاثة

عزل $\cos$: $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

مثال: $a = 4, b = 5, c = 6$. جد $\widehat{A}$.

$\cos A = (25 + 36 - 16)/60 = 0{,}75$ $\widehat{A} \approx 41{,}4°$.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين الزاوية والضلع: الضلع $a$ مقابل الزاوية $\widehat{A}$.
2. نسيان الإشارة في «ناقص $2bc \cos A$».
3. استعمال فيثاغورس على مثلث غير قائم.

?À toi de jouer

مثلث b = 3، c = 4، الزاوية A = 90°. جد a.

A.5 (الكاشي يصبح فيثاغورس)B.7C.√7D.12

Valider